در پایان نامه حاضر، ارتعاش آزاد و کمانش نانو ورق های مستطیلی تابعی مدرج مورد بررسی قرار گرفته است. جهت به دست آوردن فرکانس طبیعی بی بعد و بار بحرانی کمانش بی بعد نانو ورق تابعی مدرج از تئوری الاستیسیته غیر محلی و تئوری تنش کوپل اصلاح شده بر اساس تئوری تغییر شکل برشی نمایی و تئوری تغییر شکل برشی مثلثاتی استفاده شده است. در تئوری های تغییر شکل برشی نمایی و مثلثاتی به ترتیب از توابع نمایی و مثلثاتی جهت در نظر گرفتن تأثیر اینرسی دورانی و تغییرشکل برشی عرضی در راستای ضخامت استفاده شده است. در تئوری های تغییر شکل برشی نمایی و مثلثاتی، تعداد توابع جابجایی مثل تئوری مرتبه اول فرض شده است. خصوصیات مواد در راستای ضخامت به صورت پیوسته و بر اساس قانون توانی تغییر می کند. از روش حل ناویر جهت به دست آوردن فرکانس طبیعی و بار بحرانی کمانش نانو ورق تابعی مدرج با شرایط مرزی کاملاً ساده استفاده شده است. در روش ناویر ارائه شده در این پایان نامه، معادلات حرکت با به کارگیری اصل همیلتون بر اساس تئوری الاستیسیته غیر محلی به دست آمده است. برای به دست آوردن فرکانس طبیعی و بار بحرانی کمانش تمام شرایط مرزی، معادلات حرکت سیستم با به کارگیری روش ریلی ریتز بر اساس تئوری تنش کوپل اصلاح شده به دست آمده است. تئوری تنش کوپل اصلاح شده شامل یک پارامتر مقیاس طول می باشد، و این تئوری با برابر صفر قرار دادن پارامتر مقیاس طول به تئوری ورق غیر نانو تبدیل می گردد. در روش ریلی ریتز ارائه شده مؤلفه های جابه جایی به صورت چند جمله ای های جبری ساده که توان ارضای ترکیب تمامی شرایط مرزی را دارا هستند معرفی گردیده است. برای نمایش دقت روابط حاصل، نتایج ارائه شده در این پایان نامه با نتایج منتشر شده در مقالات معتبر مقایسه گردیده است. در نهایت، تأثیر پارامتر های گوناگون از قبیل: پارامتر غیر محلی، اندیس توانی، نسبت طول به عرض (a/b)، نسبت طول به ضخامت (a/h) و پارامتر مقیاس طول بر فرکانس طبیعی بی بعد و بار بحرانی کمانش بی بعد نانو ورق تابعی مدرج مستطیلی ارائه شده است.
