گراف توانی P(G) از یک گروه متناهی G ، گرافی است ساده که مجموعه راس های ان G است و دو راس x و y در G مجاورند اگر و تنها اگر یکی توانی از دیگری باشد. زیر گراف حاصل از حذف راس 1 (عضو همانی گروه G ) را با نشان می دهیم. در این پایان نامه ، ابتدا به برخی از نتایج و ویژگی های گراف توانی P(G) و پرداخته و یک نوع سرشت نمایی گروه ها توسط P(G) را معرفی نمود، و سپس به شرایط لازم و کافی برای همبندی، قویا منتظم، دوبخشی و مسطح بودن زیرگراف توانی پرداخته و درنهایت، یک خانواده نامتناهی از گروه های G را یافته که در آن ها شامل راس برشی باشد.
